基本的に Network Update Loop は MonoBehaviour ライフサイクルより前に呼ばれるようです．
e.g. NetworkUpdateLoop.FixedUpdate → MonoBehaviour.FixedUpdate，NetworkUpdateLoop.Update → MonoBehaviour.Update

椿さんのこちらの記事を参考に各 Update Stage に盛り込む処理をば．

tsubakit1.hateblo.jp

Update Stage	内容
Initialization	「時間」のアップデートやステートの同期など
EarlyUpdate	「入力」の更新
FixedUpdate	物理演算系
PreUpdate	物理演算の反映・マウス入力云々
Update	アップデート処理
PreLateUpdate	アニメーションの更新
PostLateUpdate	布の更新とかレンダリング

How To Use

サンプルスクリプトを載せます．

using MLAPI;
using UnityEngine;

namespace MLAPIPractice
{
    // Network Update Loop を利用する場合は INetworkUpdateSystem を実装する
    public class NetworkUpdateSystemTest : NetworkBehaviour, INetworkUpdateSystem
    {
        private void OnEnable()
        {
            // Update Stages の順番は以下の通り．
            // 追加したい Stage を指定する時は this.RegisterNetworkUpdate() を最初に指定する
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.Initialization);
            // ちなみに上のコードはこちらと同じ
            // NetworkUpdateLoop.RegisterNetworkUpdate(this, NetworkUpdateStage.Initialization);

            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.EarlyUpdate);
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.FixedUpdate);
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.PreUpdate);
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.Update); // 引数なしでも同様
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.PreLateUpdate);
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.PostLateUpdate);

            // 全ての Update States を指定したい場合は以下で宣言してもよい
            // this.RegisterAllNetworkUpdates();
            // こちらでもよい
            // NetworkUpdateLoop.RegisterAllNetworkUpdates(this);
        }

        /// <summary>
        /// RegisterNetworkUpdate に指定した Stages が Resolve される
        /// </summary>
        /// <param name="updateStage">updateStage</param>
        public void NetworkUpdate(NetworkUpdateStage updateStage)
        {
            Debug.Log($"{nameof(NetworkUpdateSystemTest)}.{nameof(NetworkUpdate)}({updateStage})");
        }
        
        private void Update()
        {
            Debug.Log($"{nameof(NetworkUpdateSystemTest)}.{nameof(Update)}()");
        }
        
        private void FixedUpdate()
        {
            Debug.Log($"{nameof(NetworkUpdateSystemTest)}.{nameof(FixedUpdate)}()");
        }

        private void LateUpdate()
        {
            Debug.Log($"{nameof(NetworkUpdateSystemTest)}.{nameof(LateUpdate)}()");
        }

        private void OnDisable()
        {
            // Dispose する時は以下のように宣言する
            this.UnregisterAllNetworkUpdates();
            // こちらでもよい
            // NetworkUpdateLoop.UnregisterAllNetworkUpdates(this);
        }
    }
}

INetworkUpdateSystem を実装し，MonoBehaviour の前後に差し込みたい処理を NetworkUpdate の中に書きます．
どのタイミングで差し込みたいかは，初期化処理段階で Register し，使わなくなったら Unregister する流れになります．
NetworkUpdateStage を Register することで NetworkUpdate メソッドに Inject されます．

            // 追加したい Stage を指定する時は this.RegisterNetworkUpdate() を最初に指定する
            this.RegisterNetworkUpdate(NetworkUpdateStage.Initialization);
            // ちなみに上のコードはこちらと同じ
            // NetworkUpdateLoop.RegisterNetworkUpdate(this, NetworkUpdateStage.Initialization);

引数なしの場合は，Updateが登録されるようです．
Unregister する時は Register を Unregister に変えるだけでOK．

まあ少し軽く動作確認しますか．

gyazo.com

使いどころはしっかり考えて実装する感じになりそうです．